Читаем Примени математику полностью

7.6. В силу утверждений, сформулированных в задачах 7.1, 7.2, указанные формулы задают только пифагоровы тройки. С другой стороны, любая пифагорова тройка x, y, z после ее сокращения на наибольший общий делитель k пары чисел x и y становится несократимой (см. задачу 7.3) и, следовательно, может быть представлена с точностью до порядка чисел x и y в виде, описанном в задаче 7.5. Поэтому любая пифагорова тройка задается указанными формулами при некоторых значениях параметров.

7.7. Из неравенства z<30 и формул задачи 7.6 получаем оценку m²<30, т. е. m≤5. Полагая m = 2, n = 1 и k = 1, 2, 3, 4, 5, получаем тройки 3, 4, 5; 6, 8, 10; 9, 12, 15; 12,16,20; 15, 20, 25. Полагая m = 3, n = 2 и k = 1, 2, получаем тройки 5, 12, 13; 10, 24, 26. Полагая m = 4, n = 1, 3 и k = 1, получаем тройки 8, 15, 17; 7, 24, 25. Наконец, полагая m = 5, n = 2 и k = 1, получаем тройку 20, 21, 29.

7.8. Докажем справедливость утверждений задачи для любой несократимой тройки вида 2mn, m² - n², m² + n², где m>n - взаимно простые числа разной четности (см. задачу 7.5). Тогда после умножения чисел этой тройки на любое число k (см. задачу 7.6) те же утверждения о делимости останутся верными. Итак, если одно из чисел m или n кратно 3, то число 2mn также кратно 3; если же оба числа m и n не делятся на 3, то они дают либо одинаковые остатки при делении на 3 (тогда число m - n кратно 3), либо разные (и тогда эти остатки равны 1 и 2, а число m + n кратно 3), нов любом случае число m² - n² = (m - n)*(m + n) делится на 3. Утверждение а) доказано. Утверждение б) вытекает из того, что числа тип имеют разную четность, т. е. одно из них четно, а, значит, число 2mn кратно 4. Наконец, если одно из чисел m или n кратно 5, то число 2mn также кратно 5; если же оба числа m и n не делятся на 5, то квадрат любого из них дает либо остаток 1 при делении на 5, либо недостаток -1 (это следует из равенств

и того факта, что любое число, не кратное 5, представляется в одном из видов 5q ± 1 или 5q ± 2), а это значит, что либо число m² - n², либо число m² + n² кратно 5. Поэтому утверждение в) также справедливо.

7.9. Справедливость свойства модулей, сформулированного в задаче, вытекает из тождества

левая часть которого равна (|α + iβ|*|γ + iδ|)², а правая равна (|α + iβ|*|γ + iδ|)² = (|(αγ - βδ) + i(αδ + βγ)|)². Теперь, учитывая доказанное свойство, получаем

что и требовалось доказать.

7.10. Будем искать неизвестную z в виде квадрата модуля некоторого комплексного числа. Тогда из равенств

получаем серию решений уравнения а) с целыми параметрами m и n:

x = m³ - 3mn², y = 3m²n - n³, z = m² + n².

Аналогично из равенств

получаем серию решений уравнения б) с целыми параметрами m и n:

x = m⁴ - 6m²n² + n⁴, y = 4m³n - 4mn³, z = m² + n².

Довольно часто приходится смешивать различные жидкости, порошки, а иногда даже газообразные или твердые вещества, разбавлять что-либо водой или наблюдать испарение воды, т. е. усыхание. В задачах настоящего параграфа вам предстоит мысленно производить именно такие операции. Ниже всюду, если не оговорено противного, будем предполагать, что в результате перемешивания получается однородная масса. Это означает, что интересующая нас характеристика смеси одинакова для любой части смеси.

Одной из наиболее распространенных характеристик смеси является концентрация конкретной составляющей смеси, т. е. отношение количества этой составляющей к общему количеству смеси. При подсчете концентрации указанные количества могут измеряться как их весом (массой), так и объемом. В приведенных ниже задачах мы везде, где возникает разночтение в этом вопросе, будем брать для определенности весовые концентрации.

На практике концентрации принято выражать в сотых долях единицы, называемых процентами. Содержание какого-либо драгоценного металла в сплаве с примесями обычно называют пробой и обозначают числом тысячных долей единицы. Например, говоря о золоте 573-й пробы, мы подразумеваем, что в каждых 1000 г такого "золота" содержится только 573 г чистого золота.

В некоторых случаях нас будет интересовать не содержание одного вещества в другом, а, скажем, стоимость единицы смеси, удельный вес или давление (к которым применимы аналогичные рассуждения). Иногда же будет поставлен принципиальный вопрос о том, какого вещества в смеси больше или как добиться наибольшего его содержания.

8.1. Приготовление раствора В каких количествах нужно смешать жидкость с ее растворителем, чтобы получить 100 г 20-процентного раствора этой жидкости?