Читаем Примени математику полностью

в которой величину z можно считать параметром, удовлетворяющим неравенствам Например, значение z = 75 задает значения x = 100, y = 75, т. е. для получения 950 г 55-процентного раствора можно взять 100 г первого раствора и по 75 г второго и третьего.

8.12. По закону Архимеда сплав при погружении в воду потерял в весе столько, сколько весит вытесненная им вода, т. е. 900 г. Следовательно, объем сплава равен 900 см³, а плотность равна Пользуясь старинным способом (см. задачу 8.3), получаем схему

из которой следует, что объемы золота и серебра в сплаве находятся в отношении 4,4:4,4, а значит, просто равны друг другу.

Заметим, что здесь мы применили старинный способ в несколько необычной ситуации: количества смешиваемых веществ измеряются их объемами, а роль концентрации играет плотность. Убедитесь сами, что схема по-прежнему применима.

8.13. Так как в результате переливаний объемы содержимого в обоих стаканах не изменились, то в первом стакане убавилось ровно столько кофе, сколько прибавилось молока. Следовательно, в итоге из первого стакана во второй перекочевало столько же кофе, сколько молока перекочевало из второго стакана в первый.

8.14. Количество черного кофе с самого начала было равно 1 стакану, а молока было долито сначала полстакана, затем треть стакана и, наконец, шестая часть стакана, т. е. в общей сложности стакан. Следовательно, кофе и молока было выпито поровну.

8.15. Докажем, что независимо от произведенных переливаний в первом стакане кофе будет не меньше, чем молока. Действительно, в самом начале в первом стакане был только кофе, т. е. сформулированное утверждение справедливо. Теперь, если перед каким-то переливанием в первом стакане кофе было не меньше, чем молока, то возможны два варианта:

а) жидкость переливается из первого стакана во второй, и тогда, конечно, в первом стакане кофе останется не меньше, чем молока;

б) жидкость переливается из второго стакана в первый, а тогда перед переливанием во втором стакане кофе было не больше, чем молока (ведь общее количество кофе равно общему количеству молока), что сохранится и после переливания, а, значит, в первом стакане кофе снова станет не меньше, чем молока.

Таким образом, в любом случае, после любого количества переливаний в первом стакане молока не может оказаться больше, чем кофе.

8.16. Предположим, что на стенках колбы всегда остается одно и то же количество жидкости, равное а. Тогда если влить в колбу сразу всю воду в количестве b, то концентрация реактива в полученной от перемешивания смеси будет равна а на стенках колбы после полоскания останется реактив в количестве Если же влить в колбу воды, то концентрация реактива будет равна а после полоскания на стенках останется реактива. Аналогично подсчитавается, что после следующего полоскания колбы оставшимся количеством воды останется реактив в количестве

Это меньше, чем в первом из рассмотренных случаев, поскольку

Итак, выгоднее полоскать два раза меньшим количеством воды, чем один раз большим.

8.17. После первого разбавления из кастрюли будет отлит 1 л сиропа, а его концентрация станет равна 0,9.

После второго разбавления из кастрюли будет отлита десятая часть оставшегося сиропа, концентрация которого станет равна 0,9². Вообще, после очередного n-го разбавления опять будет отлита десятая часть сиропа, а его концентрация станет равна 0,9ⁿ. Ни при каком натуральном значении n не будет выполнено равенство

так как иначе при том же значении n было бы справедливо и равенство

в котором левая часть кратна 3, а правая нет. Заметим, однако, что хотя точное равенство невозможно, но тем не менее после достаточно большого количества переливаний сироп обязательно окажется разбавленным по меньшей мере в два раза. В данном случае этот момент впервые наступит после седьмого разбавления, поскольку справедливы оценки

8.18. Если баллон с давлением p₁ подсоединить к баллону с давлением p₂, то в обоих баллонах давление станет равным

Если затем первый баллон подсоединить к баллону с давлением p₃, то в них обоих давление станет равным

Продолжая это рассуждение и далее, мы получим, что если затем последовательно подсоединить первый баллон к баллонам с давлением p₄, p₅, ..., p_n, то в итоге давление в первом баллоне станет равным

Анализируя эту сумму, можно заметить, что наибольший вклад в нее дает величина p_n, которая входит в сумму с наибольшим коэффициентом ¹/₂. Поэтому для того, чтобы эта сумма была максимальна, нужно, чтобы давление p_n было наибольшим из давлений всех баллонов. Действительно, если, напротив, наибольшее давление p отсутствует в списке p₂, p₃, ..., p_n, то заменим p_n числом р, отчего сумма увеличится на Если же наибольшее давление p совпадает с некоторым давлением рт, не равным p_n, то поменяем местами в сумме величины p_m и p_n, отчего она увеличится на