Читаем Примени математику полностью

где m>n и k - натуральные параметры (чтобы исключить дублирование каких-либо троек, достаточно выбирать числа тип взаимно простыми и к тому же разной четности).

7.7. Первые 10 троек Найдите все пифагоровы тройки x, y, z, удовлетворяющие условию x

7.8. Свойства пифагоровых троек Докажите, что для любой пифагоровой тройки x, y, z справедливы утверждения:

а) хотя бы одно из чисел x или y кратно 3;

б) хотя бы одно из чисел x или y кратно 4;

в) хотя бы одно из чисел x, y или z кратно 5.

7.9. Применение комплексных чисел Модулем комплексного числа α + iβ называется неотрицательное число

Проверьте, что для любых комплексных чисел α + iβ и γ + iδ выполняется свойство

Пользуясь свойствами комплексных чисел и их модулей, докажите, что любые два целых числа m и n удовлетворяют равенству

(m² + n²)² = (m² - n²)² + (2mn)²,

т. е. задают решение уравнения

x² + y² = z².

целых числах (сравните с задачей 7.5).

7.10. Непифагоровы тройки Пользуясь свойствами комплексных чисел и их модулей (см. задачу 7.9), найдите формулы для каких-либо целочисленных решений уравнения:

а) x² + y² = z³; б) x² + y² = z⁴.

7.1. Если x₀² + y₀² = z₀², то y₀² + x₀² = z₀², и при любом натуральном значении k имеем

(x₀k)² + (y₀k)² = (x₀² + y₀²)k² = z₀²k² = (z₀k)² ,

что и требовалось доказать.

7.2. Из равенств

(m² + n²)² = m⁴ + 2m²n² + n⁴ = (m⁴ - 2m²n² + n⁴) + 4m²n² = (m² - n²)² + (2mn)²

заключаем, что указанная в задаче тройка удовлетворяет уравнению x² + y² = z² в натуральных числах. Однако не всякую пифагорову тройку x, y, z можно представить в таком виде; например, тройка 9, 12, 15 является пифагоровой, но число 15 не представимо в виде суммы квадратов каких-либо двух натуральных чисел m и n.

7.3. Если какие-то два числа из пифагоровой тройки x, y, z имеют общий делитель d, то он будет делителем и третьего числа (так, в случае x = x₁d, y = y₁d имеем z² = x² + y² = (x₁² + y₁²)d², откуда z² делится на d² и z делится на d). Поэтому для несократимости пифагоровой тройки необходимо, чтобы любые два из чисел тройки были взаимно простыми,

7.4. Заметим, что одно из чисел x или y, скажем x, несократимой пифагоровой тройки x, y, z является нечетным, так как в противном случае числа x и y не были бы взаимно простыми (см. задачу 7.3). Если при этом другое число y также нечетно, то оба числа

x² = (2a + 1)² = 4a² +4a +1 и y² = (2b + 1)² = 4b² +4b +1

дают остаток 1 при делении на 4, а число z² = x² + y² дает при делении на 4 остаток 2, т. е. оно делится на 2, но не делится на 4, чего не может быть. Таким образом, число y должно быть четным, а число z, стало быть, нечетным.

7.5. Пусть пифагорова тройка x, y, z несократима и, для определенности, число x четно, а числа y, z нечетны (см. задачу 7.4). Тогда

x² = z² - y² = (z + y)(z-y) = (2a)(2b),

где числа являются целыми. Докажем, что числа а и b взаимно просты. В самом деле, если бы они имели общий делитель, больший 1, то такой же делитель имели бы и числа z = a + b, y = a - b, т. е. тройка не была бы несократимой (см. задачу 7.3). Теперь, раскладывая числа а и b в произведения простых множителей, замечаем, что любой простой множитель должен входить в произведение 4ab = x² только в четной степени, причем если он входит в разложение числа а, то не входит в разложение числа b и наоборот. Поэтому любой простой множитель входит в разложение числа а или b в отдельности только в четной степени, а, значит, сами эти числа являются квадратами целых чисел. Положим тогда получим равенства

x² = 4m²n², x = 2mn,

z = a + b = m² + n², y = a - b = m² - n²,

причем натуральные параметры m>n взаимно просты (вследствие взаимной простоты чисел а и b) и имеют разную четность (из-за нечетности числа z = m² + n²).

Пусть теперь натуральные числа m>n разной четности являются взаимно простыми. Тогда тройка х = 2mn, y = m² - n², z = m² + n², согласно утверждению задачи 7.2, является пифагоровой. Докажем, что она несократима. Для этого достаточно проверить, что числа y и z не имеют общих делителей (см. задачу 7.3). В самом деле, оба эти числа нечетны, так как числа тип имеют разную четность. Если же числа y и z имеют какой-либо простой общий делитель (тогда уж обязательно нечетный), то такой же делитель имеет и каждое из чисел и а с ними и каждое из чисел m и n, что противоречит их взаимной простоте.