На рис. 8.2 в общих чертах представлено то, чего вы пытаетесь достичь. Однако вы не можете с легкостью исследовать корреляции между 30 переменными даже с помощью компьютера. (Для изучения каждой пары признаков потребовалось бы 435 отдельных диаграмм рассеяния[76].) Итак, вы прогоняете данные через алгоритм АГК, чтобы воспользоваться существующими в наборе данных корреляциями, и на выходе получаете два набора данных[77].

На рис. 8.3 показан первый набор. Строки таблицы содержат признаки спортсменов, а столбцы – веса этих признаков и их вклад в главную компоненту. Эти веса отражают важный шаг в процессе АГК, связанный с созданием новых измерений в данных. (Обратите внимание на то, что здесь слово «вес» – специальный термин, который имеет отношение к АГК, а не к поднятию тяжестей.) Мы визуализировали веса, однако имейте в виду, что в числовом выражении они представляют собой меру корреляции, значение которой находится в диапазоне от –1 до 1. Чем ближе ее значение к любому из экстремумов, тем сильнее корреляция и тем выше вклад исходного признака. Итак, вам нужно отыскать интересные закономерности в весах главных компонент (обозначенных на следующем рисунке аббревиатурой ГК). Веса, которые отклоняются далеко от вертикальной нулевой линии, могут рассказать много интересного.

Рис. 8.3. АГК находит оптимальные веса для создания составных признаков, которые представляют собой линейные комбинации других признаков. Иногда вы можете присвоить новому составному признаку описательное название

В первом столбце «Веса для ГК 1» вы видите большие веса для таких признаков, как отжимания, приседания и становая тяга; они, как отмечалось ранее, положительно коррелируют друг с другом. АГК обнаружил это автоматически. Эту комбинацию признаков можно назвать «Сила». Глядя на веса для ГК 2, вы замечаете связь отрицательных столбиков с показателями «Скорости» (низкий пульс в состоянии покоя, медленный бег на 40 метров, медленный бег на 100 метров). Аналогичным образом вы можете дать ГК 3 название «Выносливость», а ГК 4 – «Здоровье».

Раньше у вас было несколько коррелирующих между собой измерений. Однако четыре новых измерения представляют собой четыре составных признака, которые не коррелируют друг с другом. А отсутствие корреляции означает, что каждое новое измерение предоставляет новую, непересекающуюся информацию. По сути, мы разбиваем содержащуюся в наборе данных информацию на отдельные измерения, как указано в строке «% информации для каждой компоненты». Используя всего лишь четыре новых признака, мы можем сохранить 91 % информации, содержащейся в исходном наборе данных.

С помощью весов, указанных на рис. 8.3, 30 исходных показателей физической подготовки каждого спортсмена можно преобразовать в такие главные компоненты, как «Сила», «Скорость», «Выносливость» и «Здоровье», используя линейные комбинации. Например, сила спортсмена рассчитывается по следующей формуле:

Сила = 0,6*(количество отжиманий) + 0,5*(количество повторений становой тяги) + 0,4*(количество приседаний) + (незначительный вклад остальных признаков)

Значения (веса) 0,6, 0,5 и 0,4 – результат АГК. Мы просто решили их визуализировать.

Выполнение этой серии вычислений для всех спортсменов дает нам второй результат применения алгоритма АГК, показанный на рис. 8.4. Это новый набор данных того же размера, что и исходный, только на этот раз максимально возможное количество информации было сосредоточено в первой группе некоррелированных главных компонент (также известных как составные признаки). Обратите внимание на резкое сокращение величины вклада главных компонент, начиная с пятой.

Рис. 8.4. Алгоритм АГК создает новый набор данных того же размера, что и исходный, где столбцы представляют собой составные признаки, называемые главными компонентами

Таким образом, вместо использования 30 переменных для объяснения 100 % информации, содержащейся в исходном наборе данных, набор данных, показанный на рис. 8.4, может объяснить 91 % этой информации с помощью всего лишь четырех признаков. Это позволяет нам проигнорировать 26 столбцов. Вот это понижение размерности! Вооружившись этим набором данных, вы можете выяснить, кто из спортсменов самый сильный, самый быстрый или обладает любой комбинацией этих признаков. Визуализировать и интерпретировать данные стало намного проще.

Анализ главных компонент. Резюме

Давайте сделаем шаг назад, чтобы кое-что прояснить.

Во-первых, когда речь идет о столбце в наборе данных, хорошим синонимом информации является дисперсия (мера разброса). Подумайте об этом так. Предположим, что мы добавили новый столбец в набор данных о спортсменах, показанный на рис. 8.2, под названием «Любимая марка обуви», и каждый спортсмен ответил: «Nike». В таком случае в этом столбце не было бы никаких вариаций, позволяющих отличить одного спортсмена от другого. Нет вариации = нет информации.