Читаем Наука логики полностью

Пространственная и числовая величины обычно рассматриваются как два вида величин таким образом, что пространственная величина сама по себе есть столь же определенная величина, как и числовая величина. Их различие, как полагают, состоит лишь в различных определениях непрерывности и дискретности, как определенное же количество они стоят на одной ступени. Геометрия, вообще говоря, имеет своим предметом в виде пространственной величины непрерывную величину, а арифметика в виде числовой величины – дискретную. Но вместе с этой неодинаковостью предмета они не имеют и одинакового способа и совершенства ограничения или определенности. Пространственная величина имеет лишь ограничение вообще; поскольку она должна рассматриваться как безусловно определенный квант, она нуждается в числе. Геометрия как таковая не измеряет пространственных фигур, не есть искусство измерения, она лишь сравнивает их. В даваемых ею дефинициях определения также отчасти заимствуются ею из равенства сторон, углов, из равного расстояния. Так, например, круг, основывающийся единственно лишь на равенстве расстояния всех возможных в нем точек от одного центра, не нуждается для своего определения ни в каком числе. Эти определения, основывающиеся на равенстве или неравенстве, суть подлинно геометрические. Но их недостаточно, и для определения других фигур, например треугольника, четырехугольника, требуется число, заключающее в своем принципе, в «одном», определенность самостоятельную (das für sich Bestimmtsein), а не с помощью чего-то другого, стало быть, не через сравнение. В точке, правда, пространственная величина имеет определенность, соответствующую «одному»; однако точка, поскольку она выходит вовне себя, становится иным, становится линией; так как она по своему существу есть лишь «одно» пространства, то она в соотношении становится такой непрерывностью, в которой снята точечность, самостоятельная определенность, «одно». Поскольку самостоятельная определенность должна сохраниться в вовне-себя-бытии, приходится представлять линию как некоторое множество «одних», и она должна получить внутри себя границу, определение многих «одних», т. е. величину линии – и точно так же других пространственных определений – следует брать как число.

Арифметика рассматривает число и его фигуры, или, вернее, не рассматривает их, а оперирует ими. Ибо число есть безразличная, инертная определенность; оно должно быть приведено в действие и в соотношение извне. Способы такого соотнесения – это [четыре] арифметических действия. Они излагаются в арифметике одно после другого, и ясно, что одно действие зависит от другого. Однако в арифметике не выделяется нить, руководящая их последовательностью. Но из самого определения понятия числа легко получается систематический порядок, на который справедливо притязает изложение этих элементов в учебниках. На эти руководящие определения следует здесь обратить некоторое внимание.

В силу своего принципа, «одного», число есть вообще нечто внешне сочетанное, всецело аналитическая фигура, в которой нет никакой внутренней связи. Таким образом, поскольку оно лишь нечто порожденное извне, всякое исчисление есть продуцирование чисел, счет или, говоря более определенно, сосчитывание. Разница в этом внешнем продуцировании, совершающем постоянно лишь одно и то же, может заключаться только в различии по отношению друг к другу сосчитываемых чисел; такое различие само должно быть заимствовано откуда-то извне и из внешнего определения.

Качественное различие, составляющее определенность числа, – это то, с которым мы познакомились, – различие между единицей и численностью; к этому различию сводится поэтому всякая определенность понятия, могущая иметь место в арифметических действиях. Различие же, присущее числам как определенным количествам, есть внешнее тождество и внешнее различие, равенство и неравенство, которые суть рефлективные моменты и которые следует рассматривать среди определений сущности там, где трактуется о различии.

Далее, нужно предварительно отметить, что числа могут в общем быть произведены двояко – либо сочетанием, либо разъединением уже сочетанных; поскольку этот двоякий способ имеет место при одинаково определенном виде счета, то сочетанию чисел (это можно назвать положительным арифметическим действием) соответствует разъединение их (это можно назвать отрицательным арифметическим действием), причем само определение действия независимо от этой противоположности.

После этих замечаний укажем виды исчисления.