Читаем Воспитание к свободе полностью

Самое позднее при переходе в старшую ступень многие ученики начинают осознавать, насколько важно понимать математику. Они узнают, что в большинстве случаев как теоретическое, так и практическое профессиональное обучение во многих областях доступно только тем, кто хорошо знает математику. Математика имеет большой вес в современном обществе. Конечно, это можно было бы считать благоприятным поводом для пробуждения новых интересов. Но вряд ли стоит учителю слишком прибегать к этому внешнему мотиву. Уроки математики должны на протяжении всех школьных лет служить развитию личности, а значит, должны иметь собственное значение.

Наверное, красивее всех о значении математических упражнений сказал Платон. В «Государстве» он пишет: «С помощью математики очищается орган души и, как в очищающем огне, пробуждается к новым жизненным силам, в то время как другие занятия его уничтожают и лишают зрения; он же заслуживает быть сохраненным более, чем тысяча телесных глаз, ибо только он видит истину».

И как же далеки от этой трактовки бывают шестнадцатилетние! «Зачем это нужно?» — симптоматичный вопрос. В классе сидят подростки с только что разбуженными интеллектуальными способностями и с желанием сделать что-нибудь практическое в этом мире. Однако совсем не трудно занять их проблемой, не имеющей никакого отношения к практической деятельности, если только поставленная задача будет обращена к процессу их внутреннего развития. Проблема «ханойских башен» может служить примером такой задачи, которая сначала обращается к комбинаторному мышлению, а потом выходит за его пределы. Ханойская башня состоит из нескольких камней с дырками, нанизанных на вертикальный стержень. Самый нижний камень — самый большой, а потом величина их последовательно уменьшается в направлении вверх. Рядом стоят два пустых стержня. Вопрос: сколько перемещений камней нужно сделать, чтобы построить башню на одном из пустых стержней при условии, что больший по размеру камень никогда не может лежать над меньшим? Предположим, что у нас четыре камня. Ученикам нужно не так много времени, чтобы путем проб найти, что требуется х -15 перемещений для требуемого построения башни. Класс сразу же сам спросит, сколько необходимо перемещений при произвольном количестве камней. Некоторые посмотрят, как будут обстоять дела, если имеется меньше четырех камней, и выяснят: один камень требует одного перемещения, два камня три перемещения, а три камня семь перемещений. Может быть в этой числовой последовательности есть какая-нибудь характерная закономерность, указывающая на общую формулу? Нашли след, а выводит ли он на правильный путь? Правильно ли это предположение? Ученики проверяют эту гипотезу в случае с пятью камнями — да, догадка правильная!

Геометрия учит нас «видеть мыслью». Но для этого мы должны отучиться,например,представлять точку как укол иголкой,линию как шест,параллели как железнодорожные рельсы.Только усилие в направлении полностью свободных от чувственного представлений помогает овладеть геометрическим видением.

Различные многоугольники в евклидовой геометрии представляются как четко отграниченные плоскости, тогда как в проективной геометрии - это структуры, уводящие в бесконечность. Чтобы выполнить необходимые построения, нужно приложить немало усилий, но окупаются они весьма интересными результатами.

Но как же доказать ее для произвольного числа камней? Ведь не можем же мы без конца строить все большие башни. Метод проб, пригодный в мире чувств, тут не может бесконечно выручать. Мы должны думать, интенсивно искать какую-то решающую точку до тех пор, пока мысленно не научимся строить безгранично большие башни. И где же эта решающая точка? Мы исследуем сначала, как увеличивается число перемещений с прибавлением одного камня. Башня из пяти камней строится так: сначала строится башня из четырех (меньших) камней на втором стержне, а затем перемещается пятый камень на стержень N3. На последнем шаге на этот стержень переносится вся башня из 4 камней. Число перемещений, значит, Х₅ = Х₄ + 1 + Х₄ = 15 + 1 + 15 = 31. Таким же будет соотношение и в башнях любой величины. Мы можем сделать этот шаг от 4 к 5, от 5 к 6 и так далее до бесконечности. Это открытие позволяет вывести формулу числа перемещений для башен любой величины.