Как видно на рис. 6.2, исходя из имеющейся у нас информации, 10 000 ноутбуков можно разделить на четыре группы: ноутбуки с вирусом, давшие отрицательный или положительный результат при тестировании, и ноутбуки без вируса, давшие отрицательный или положительный результат при тестировании. Давайте разберемся, что это значит. Если вы посмотрите на древовидную диаграмму, то поймете, что нам интересны только две ветви. Первый случай предполагает наличие вируса и положительный результат тестирования – это 99 ноутбуков. Второй случай предполагает отсутствие вируса и опять же положительный результат тестирования – тоже 99 ноутбуков. Такой результат называется ложноположительным.

Рис. 6.2. Древовидная диаграмма для сканирования компьютеров в большой компании на наличие вируса

Дело вот в чем. Мы уже знаем, что результат тестирования компьютера оказался положительным. Это означает, что он может принадлежать только одной из этих двух групп. Вы не знаете, какой именно, но если представить ноутбуки в виде шариков одинакового размера, то при вытаскивании одного из них вслепую из мешка вероятность того, что вы достанете шарик из той или иной группы, будет составлять 50 %.

А теперь давайте проверим свое (новое) интуитивное понимание ситуации математикой. Для этого используем теорему Байеса, заменив события A и B событиями В и +: P(В | +) × P(+) = P(+ | В) × P(В). Затем подставим известные нам величины вероятности:

P(+) = вероятность положительного результата теста = 198 положительных результатов /10000 = 1,98%

P(+ | В) = 99/100 = 99%

P(В) = 100/10000 = 1%

Подставив эти значения в выражение P(В | +) × P(+) = P(+ | В) × P(В), получаем:

P(В | +) × 1,98 % = 99 % × 1 %,

P(В | +) = (99 % × 1 %)/1,98%

P(В | +) = 50%

Математики многовато, но она позволила нам прийти к правильному ответу: вероятность наличия вируса на вашем ноутбуке при положительном результате теста составляет 50 %.

Убедитесь, что вероятности имеют смысл

В этой главе вам пришлось иметь дело с множеством чисел и обозначений, особенно в предыдущем разделе. Теперь давайте сделаем шаг назад и поговорим о способах осмысления и использования вероятностей.

Калибровка

Определяемые вероятности должны иметь смысл.

Например, при условии равных затрат и выгод проект с вероятностью успеха 60 % сопряжен с большим риском, чем проект с вероятностью успеха 75 %.

Мы знаем, что это кажется очевидным, однако люди часто оценивают события с вероятностью 60 % или 75 % как весьма вероятные, потому что их вероятность превышает 50 %. Но если бы это было так, вероятности не имели бы никакого значения и сводились бы к бинарным решениям типа «да/нет», при которых полностью утрачивается смысл статистического мышления и работы с неопределенностью.

Более того, если вероятность события составляет 75 %, оно должно происходить примерно в 75 % случаев[56]. Это кажущееся очевидным утверждение, называемое калибровкой, придает вероятности смысл. «Калибровка определяет соответствие фактической частоты наступления тех или иных событий в долгосрочной перспективе вашему прогнозу»[57].

Плохая калибровка делает невозможной точную оценку риска. Если вы самоуверенный юрист, который думает, что выиграет дело с вероятностью 90 %, хотя до этого выигрывал только в 60 % случаев, вы переоцениваете свои шансы на успех. Это пример плохой калибровки.

Итак, вероятности должны иметь смысл. Помните о том, что редкие события не являются невозможными, а высоковероятные события не обязательно наступают.

Редкие события могут случаться и случаются

Редкое событие может не произойти с вами или с кем-либо из ваших знакомых, но это не значит, что оно не произойдет вообще. Тем не менее у нас часто возникают сложности с пониманием редких событий.

Это правда: вы вряд ли сорвете джекпот в лотерею, однако некоторые люди в нее все-таки выигрывают. Если учесть количество лотерей, проводимых по всему миру каждый день, вероятность того, что столь редкое событие произойдет с кем-то из жителей планеты, пусть даже не с вами, оказывается не такой уж и низкой.

Мы часто забываем об огромном количестве людей, живущих на Земле. При населении в несколько миллиардов человек события типа «1 на миллион» кажутся гораздо более вероятными. На самом деле, участниками таких событий становится гораздо больше людей, чем мы можем себе представить. В мире, где проживает 7,8 миллиарда человек, событие типа «1 на миллион» может происходить ежедневно с участием 7800 человек.

С другой стороны, то или иное событие очень легко представить чрезвычайно редким, чтобы придать ему драматизма (а возможно, даже ввести в заблуждение). Например, в американском футболе очень часто встречаются комментарии, намекающие на редкость происходящего на экране события. «Это первый раз, когда 28-летний новичок пробежал 30 ярдов после двух выездных игр и всего одной игры в предсезонке». Если сформулировать это так, то данное событие действительно может показаться редким.