Читаем Примени математику полностью

2.2. Запишем данное число n в виде 100n₁ + n₀, где n₀ - двузначное число, образованное двумя последними цифрами числа n. Так как число 100n₁ делится на 25, то остаток от деления числа n на 25 равен остатку от деления на 25 числа n₀. Следовательно, число n делится на 25 в том и только в том случае, если остаток от деления числа n₀ на 25 равен 0, т. е. если две последние цифры числа n образуют одну из четырех комбинаций 00, 25, 50 или 75.

2.3. Число n делится на 5^k в том и только в том случае, если на 5^k делится число n₀, полученное из числа n отбрасыванием всех его цифр, кроме k последних. Действительно, запишем число n в виде 10^kn₁ + n₀. Тогда число 10^kn₁ делится на 5^k, а значит, остатки от деления чисел n и n₀ на 5^k совпадают и, стало быть, могут равняться 0 только временно.

2.4. Число n делится на 2^k в том и только в том случае, если на 2^k делится число n₀, полученное из числа n отбрасыванием всех его цифр, кроме к последних. Данное утверждение следует из представления числа n в виде 10^kn₁ + n₀ и того факта, что число 10^kn₁ делится на 2^k.

2.5. Проще всего в данном двузначном числе выделить наибольшее возможное четное число десятков (ведь любое число, кратное 20, кратно и 4), в результате чего останется число, меньшее 20, для которого проверка делимости на 4 уже не представляет труда. Например, число 76 = 60 + 16 делится на 4, а число 94 = 80 + 14 не делится.

2.6. Заметим, что любое четное число сотен делится на 8, а нечетное дает при делении на 8 остаток 4 и недостаток - 4. Поэтому, отбросив цифру сотен данного трехзначного числа, достаточно проверить, делится ли на 8 оставшееся двузначное число в чистом виде, если цифра сотен была четной, либо предварительно увеличенное или уменьшенное на 4, если цифра сотен была нечетной. Кроме того, для упрощения проверки делимости на 8 двузначного числа можно выделить в нем наибольшее возможное число десятков, кратное 4, в результате чего останется число, меньшее 40, для которого проверка делимости на 8 уже не представляет труда. Например, число 692 не делится на 8, так как 92 = 80 + 12 не делится на 8, а число 568 делится на 8, так как 68 - 4 = 64 делится на 8.

2.7. Пусть данное число n имеет вид

Поскольку то получаем

В полученном представлении числа n первое выражение делится как на 3, так и на 9, поэтому остатки от деления числа n и суммы всех его цифр n_k + n_k-1 + ... + n₁ + n₀ как на 3, так и на 9 совпадают.

2.8. Для упрощения проверки делимости суммы цифр данного числа на 3 можно заменять цифры их остатками или недостатками от деления на 3. Например, сумма цифр числа 2 795 438 дает тот же остаток при делении на 3, что и сумма 2 + 1 + 0 - 1 + 1 + 0 - 1 = 2.

2.9. Для упрощения проверки делимости суммы цифр данного числа на 9 можно отбрасывать те цифры, которые в сумме дают 9 или 18. Например, сумма цифр числа 7 543 782 861 дает тот же остаток при делении на 9, что и число 6, поскольку сумма всех остальных цифр (7 + 2) + (5 + 4) + (3 + 7 + 8) + (8 + 1) кратна 9.

2.10. Пусть число m k-значное. Тогда среди чисел от 10^k+1 до 10^k+1 + m хотя бы одно число делится на m. Это число имеет вид , а так как признак делимости на m не зависит от порядка цифр делимого, то числа и также кратны m. Поэтому число m является делителем разности этих чисел, равной 9, а значит, либо m = 3, либо m = 9 (случай m = 1 исключен в условии задачи).

2.11. Описанная в задаче проверка сложения основана на том, что если при подсчете суммы нескольких чисел не было сделано ошибки, то эта сумма должна давать тот же остаток при делении на какое-либо число m, что и сумма остатков от деления слагаемых на m. При этом нахождение остатков от деления на m = 9 по сумме цифр не требует серьезных усилий, что и нашло отражение в предложенном способе. Если складывались числа разного знака, то сумма всех положительных слагаемых должна давать тот же остаток при делении на m, что и сумма всех отрицательных слагаемых вместе с полученным в ответе числом. Для нахождения этих остатков при m = 9 достаточно заменить сами числа суммами их цифр.

2.12. Описанная в задаче проверка умножения основана на том, что если при подсчете произведения нескольких чисел не было сделано ошибки, то это произведение должно давать тот же остаток при делении на m (в задаче взято m = 9), что и произведение остатков от деления сомножителей на m. Проверка деления числа а на число b, в результате которого получены частное q и остаток r, сводится к проверке равенства

a = qb + r,

т. е. двух операций сразу: умножения и сложения. Это можно сделать, сравнив остатки от деления на m числа а и числа qb + r, в котором каждое из чисел q, b и r можно заменить остатком от деления на m. Если остатки не совпадут, то в вычислениях имеется ошибка.