Читаем Примени математику полностью

18.1. При несовпадении двух проведенных отрезков АВ можно сделать вывод о непригодности линейки для проведения прямых линий: ведь если бы проведенные отрезки были действительно прямыми, то отрезки были действительно прямыми, то они должны были бы совпасть (через точки А и В проходит ровно одна прямая). Если же проведенные отрезки совпадут, то это еще не будет означать, что линейка и в самом деле имеет ровный край. На рис. 112 изображена линейка с неровным краем, которая успешно пройдет проверку, описанную в условии задачи.

Рис. 112

18.2. Исправление описанной в условии задачи 18.1 проверки состоит в том, чтобы поворот линейки на 180° по плоскости бумаги заменить ее поворотом в пространстве вокруг прямой АВ. Если после такой исправленной проверки проведенные отрезки АВ совпадут, то линейка имеет ровный край. Действительно, предположив, что какая-то точка С первой из проведенных линий АВ не лежит на прямой АВ, мы получим, что точка С, симметричная точке С относительно прямой АВ, будет лежать на второй из проведенных линий АВ (рис. 113). При этом точки С и С не совпадут, что будет выявлено при исправленной проверке.

Рис. 113

18.3. Линейку можно повернуть по плоскости бумаги на 180°. В случае параллельности* краев линейки это приведет к совпадению двух проведенных отрезков CD (через точку С проходит ровно одна прямая, параллельная прямой АВ). Если же края линейки не параллельны, то прямые АВ и CD пересекаются в некоторой единственной точке О, лежащей где-то очень далеко от точек А, В, С, D. После описанного поворота линейки точка О перейдет в точку О', которая в случае совпадения двух проведенных отрезков CD будет являться еще одной точкой пересечения прямых АВ и CD, что невозможно. Таким образом, совпадение отрезков CD означает параллельность краев линейки.

18.4. Проведем прямую АВ и, приставив к ней угольник одним катетом, восставим перпендикуляр CD к прямой АВ в некоторой точке и рис. 114). Повернув угольник по плоскости бумаги на 90° вокруг точки С и приставив к прямой АВ угольник другим катетом, восставим еще раз перпендикуляр CD к этой прямой в точке С. Если два проведенных отрезка CD совпадут, то угольник имеет прямой угол, а если не совпадут, то используемый для построений угол не является прямым.

Рис. 114

18.5. Пусть мы проверяем треугольник ABC. Для установления равенства АВ = ВС достаточно перегнуть треугольник по биссектрисе угла ABC (это делается путем совмещения луча ВА с лучом ВС) и определить, совмещаются ли при этом точки А и С. Аналогично проверяются равенства ВС = АС и АВ = АС.

18.6. Данный кусок материи не обязательно имеет форму квадрата. Действительно, всем описанным в задаче условиям будет удовлетворять любой ромб, так как обе его диагонали являются его осями симметрии. Кстати, описанную в задаче процедуру можно рассматривать именно как проверку того, является ли четырехугольник ромбом.

18.7. Данный кусок материи не обязательно имеет форму квадрата. Действительно, всем описанным в задаче условиям будет удовлетворять любой прямоугольник, так как обе линии, соединяющие середины его противоположных сторон, являются его осями симметрии. Кстати, описанную в задаче процедуру можно рассматривать именно как проверку того, является ли четырехугольник прямоугольником.

18.8. Необходимо перегнуть четырехугольный кусок материи два раза. В самом деле, одного перегибания явно недостаточно для проверки того, является ли четырехугольник квадратом, так как наличие у него не только одной, а даже двух осей симметрии еще не позволяет утверждать, что четырехугольник есть квадрат (см. задачи 18.6 и 18.7). С другой стороны, если четырехугольник ABCD симметричен относительно диагонали АС и относительно прямой EF, проходящей через середины сторон АВ и CD (рис. 115), то он является квадратом. Действительно, применяя в определенном порядке указанные симметрии, получаем равенства AB = AD = BC = CD и ∠ ABC = ∠ BAD = 90°, из которых следует, что четырехугольник ABCD является ромбом и прямоугольником, т. е. квадратом.

Рис. 115

18.9. Гарантии того, что кусок материи имеет форму круга, дать нельзя, если нам не известно, по каким именно линиям производились сгибания материи. Например, если n этих линий выбраны так, как указано на рис. 116, т. е. делят полный угол на 2n одинаковых углов, то кусок материи может оказаться как правильным 2n-угольником, так и криволинейной фигурой, образованной поворотами какой-нибудь кривой линии типа ABC на углы, кратные углу АОС.

Рис. 116

Однако, как это ни удивительно, для проверки того, имеет ли данный кусок материи форму круга, достаточно убедиться, что он имеет всего лишь две оси симметрии, от которых требуется только, чтобы угол между ними измерялся иррациональным числом градусов.