Читаем Примени математику полностью

13.12. Пусть по пути в одну сторону автобус поднимается в гору на участках одного типа суммарной длины s₁, а спускается с горы на участках другого типа суммарной длины s₂. Тогда по пути в обратную сторону он будет, наоборот, спускаться с горы на участках первого типа и подниматься в гору на участках второго типа. Поэтому на проезд туда и обратно автобус затратит в общей сложности количество часов, равное

Отсюда получаем, что длина пути s₁ + s₂ между селениями равна 40 км.

13.13. Пусть эскалатор в неподвижном состоянии насчитывает х видимых ступенек. Обозначим через и нашу скорость, измеренную в таких необычных единицах, как ступеньки эскалатора в минуту, а через v скорость самого эскалатора в тех же единицах. Тогда, двигаясь в направлении движения эскалатора, вы находились на нем в течение минут, а двигаясь в обратном направлении,- в течение минут. Поэтому вы насчитали в первый раз ступенек, а во второй раз ступенек. Складывая равенства

получаем откуда

Таким образом, число видимых ступенек эскалатора в данном случае равно 50.

13.14. Данный пароход, вышедший из порта А, встретит во время плавания:

* во-первых, 10 пароходов, которые ранее вышли из порта В и еще находятся в море;

* во-вторых, тот пароход, который вышел из порта В одновременно с данным;

* в-третьих, еще 10 пароходов, которые выйдут из порта В в последующие дни.

Итого данный пароход встретит 21 пароход. Разумеется, то же самое можно сказать и о любом другом из упомянутых пароходов.

13.15. На весь путь из пункта А в пункт В и обратно один поезд затрачивает 4 часа 44 минуты, не считая стоянок на конечных пунктах A и В. За это время из начального пункта А должны отправиться еще 14 поездов, последний из которых должен выйти через 4 часа 40 минут после выхода первого поезда. Очередной поезд из пункта А должен отправиться через 5 часов после выхода первого поезда, и этот рейс может осуществить первый поезд, если он потратит на стоянки в пунктах А и В в общей сложности 16 минут. Таким образом, для обслуживания линии при данных условиях достаточно иметь 15 поездов, а меньшим числом поездов обойтись нельзя.

13.16. Пусть О - точка пересечения хорд АС и BD (рис. 44). Тогда треугольник АОВ подобен треугольнику DOC по двум углам: ∠AOB = ∠DOC (вертикальные углы) и ∠ ABD = ∠ ACD (вписанные углы, опирающиеся на одну дугу). Поэтому имеем равенство

в котором правая часть равна отношению скоростей катера и лодки. Следовательно, катер и лодка проходят расстояния АО и DO соответственно за одинаковое время. Таким образом, если бы они поменялись пунктами назначения, то оказались бы в точке О одновременно, т. е. попросту столкнулись бы.

13.17. Через t ч после начального момента первый корабль будет находиться от точки О на расстоянии |100 - 30t|км, а второй -на расстоянии |300 - 40t|км. По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника с вершинами в точках расположения кораблей и в точке О имеем, что квадрат расстояния между кораблями будет равен

(100 - 30t)² + (100 - 40t)² = (10000 -6000t + 900t²) +

+ (90000 - 24000t + 1600t²) = 2500t² -30000 + 100000 =

= (50t)² - 2*300*50t +300² = (50t - 300)² + 100².

Анализ последнего выражения показывает, что наименьшее значение 100² оно принимает при t = 6, следовательно, наименьшее расстояние между пароходами равно 100 км.

13.18. Рассмотрим движение одного корабля относительно другого и заметим, что оно является равномерным и прямолинейным, поскольку таковым является движение каждого из кораблей в отдельности. Таким образом, без ограничения общности можно считать, что один корабль покоится в некоторой точке A, а другой - точка В - движется по некоторой прямой линии со скоростью v (рис. 45). Опустим перпендикуляр АС на эту прямую и обозначим через а и b расстояния от кораблей до точки С в момент t = 6. Тогда в любой момент t эти расстояния будут равны а и |b - v(t - 6)|, а квадрат расстояния между кораблями будет равен

a² + (b - v(t - 6))².

Рис. 45

Подставляя последовательно значения t = 6, t = 13, t = 17, мы получим из условия задачи три уравнения:

a² + b² = 20², a² + (b - 7v)² = 15²,

a² + (b - 11v)² = 13²,

Из них находим (вычитая первое уравнение из двух других)

-14bv + 49v² = -175,

-22bv + 121v² = -231,

откуда v = 1, b = 16 и а = 12, последнее значение как раз и задает наименьшее расстояние 12 км между кораблями.

Важное практическое значение имеют такие задачи на движение, в которых требуется выяснить, какой из способов передвижения является наиболее выгодным в сложившейся ситуации. Например, по какой реке - с быстрым или медленным течением -можно за меньшее время проплыть туда и обратно, как лучше организовать движение, чтобы максимально эффективно использовать имеющиеся транспортные средства, и т. п.?