Читаем Примени математику полностью

1.4. Таблица умножения на пальцах Если вы хорошо знаете таблицу умножения чисел, меньших 5, но почему-то неуверенно себя чувствуете при умножении однозначных чисел, больших 5, то вы можете контролировать себя с помощью пальцев следующим образом. Пусть надо перемножить числа 6 и 7. Загнем на одной руке столько пальцев, на сколько первый сомножитель превышает 5 (в нашем случае 6-5 = 1 палец), а на другой руке столько пальцев, на сколько второй сомножитель превышает 5 (в нашем случае 7-5 = 2 пальца). Если сложить количества загнутых пальцев и перемножить количества незагнутых пальцев, то получится соответственно число десятков 1+2 = 3 и число единиц 4*3 = 12, а сумма 30 + 12 = 42 как раз и будет равна произведению 6*7.

Дайте обоснование предложенному способу умножения;

1.5. Умножение на 9 с помощью пальцев Этот способ настолько прост, что его может освоить любой ребенок, знакомый лишь с элементарным счетом. Пусть нужно умножить 6 на 9. Положив обе руки на стол, приподнимем шестой палец, считая слева направо. Тогда количество пальцев слева от поднятого укажет цифру десятков (в нашем случае 5), а количество пальцев справа от поднятого укажет цифру единиц (равную 4), т, е. искомое произведение будет равно 54.

Объясните, почему предложенный способ дает правильный ответ при умножении любого однозначного числа на 9.

1.6. Вычитание вместо умножения Умножение некоторого числа на 9 можно свести к вычитанию двух чисел. Подумайте, каких. Предложите аналогичный способ умножения чисел на 99, на 999, на числа, близкие к числам 10, 100, 1000 и т. д.

1.7. Быстрое деление Деление числа 63 475 на 999 было произведено следующим образом:

63 475 = 63*1000 + 475 = 63*999 + 63 + 475 = 63*999 + 538, откуда частное равно 63, а остаток 538.

Используя аналогичные преобразования, разделите число 63 475 с остатком на 99, на 98 и на 102.

1.8. Умножение и деление на 5 Трудно не согласиться с тем, что разделить произвольное число на 2 в уме легче, чем умножить его на 5. Нельзя ли воспользоваться этим обстоятельством, чтобы облегчить умножение чисел на 5? Что вы можете предложить вместо деления на 5?

1.9. Умножение и деление на степень пятерки Аналогично умножению или делению на 5 (см. задачу 1.8) можно сравнительно легко в уме умножать или делить числа на 25 и на 125. Как именно?

1.10. С помощью обыкновенных дробей Предложите способы быстрого умножения на 2,5, на 1,25, на 1,5 и на 0,75 (а также на 15 и на 75), использующие представление десятичных дробей в виде обыкновенных.

1.11. Способ удвоения При умножении чисел на степень двойки иногда используется способ, суть которого можно продемонстрировать на следующем примере:

139*32 = 278*16 = 556*8 = 1112*4 = 2224*2 = 4448, Как видоизменить этот способ для умножения на число, близкое к степени, двойки, скажем на 14 или на 35?

1.12. Деление на степень двойки Предложите способ деления чисел на степень двойки, подобный способу удвоения (см. задачу 1.11).

1.13. Умножение чисел второго десятка Для того чтобы перемножить два двузначных числа, меньших 20, достаточно сложить цифры единиц этих чисел и, увеличив сумму в 10 раз, прибавить к ней 100 и произведение тех же цифр.

Дайте обоснование предложенному способу.

1.14. Умножение чисел десятого десятка Для того чтобы перемножить два двузначных числа, близких к 100, достаточно вычесть из одного числа дополнение второго до 100 и, увеличив разность в 100 раз, прибавить к ней произведение дополнений исходных чисел до 100. Например, верны выкладки

93*98 = (93-2)100 + 2*7 = 9114. Дайте обоснование предложенному способу.

1.15. Умножение чисел, близких к 1000 При перемножении чисел 987 и 996 были проделаны вычисления:

987*996 = (987-4)1000 + 4*13 = 983 052. Убедитесь, что в результате найден верный ответ, и объясните способ его получения (сравните с задачей 1.14).

1.16. Устное умножение Докажите, что для перемножения двух чисел, у которых цифры единиц в сумме дают 10, а цифры других разрядов совпадают, достаточно число, получающееся в результате отбрасывания цифры единиц, умножить на следующее за ним натуральное число и, увеличив произведение в 100 раз, прибавить к нему произведение цифр единиц исходных чисел. Например, верны выкладки

62*68 = 6*7*100 + 2*8 = 4216. 1.17. Квадрат числа, оканчивающегося на 5 Сформулируйте общее правило, с помощью которого возведены в квадрат следующие числа: