Читаем Примени математику полностью

называются подходящими дробями порядка 1, 2, 3, ..., n соответственно. Разложите дробь ¹³/₂₉ в цепную дробь и выпишите все подходящие к ней дроби. Обратите каждую из подходящих дробей в обыкновенную.

5.11. Комбинирование сопротивлений

Рис. 4

Из курса физики вам, наверняка, известно, что если соединить несколько сопротивлений R₁, R₂, ..., R_k в электрической цепи последовательно (рис. 4), то общее сопротивление будет равно R₁ + R₂ + ..., + R_k, а если соединить эти же сопротивления параллельно (рис. 5), то общее сопротивление окажется равным

Рис. 5

А теперь представьте, что у вас есть большое количество одинаковых единичных сопротивлений. Можно ли, комбинируя их в электрической цепи специальным образом, составить схему, имеющую сопротивление:

а) ⁷/₂; б) ¹⁰/₇; в) вообще ^a/_b?

5.12. Кое-что о подходящих дробях Пусть для заданной цепной дроби с последовательными частными q₁, q₂, ..., q_n несократимые дроби

являются результатами свертывания подходящих дробей порядка 1, 2, ..., n соответственно (см. задачу 5.10). Докажите справедливость соотношений:

5.13. Приближение цепной дроби Между двумя параллельными осями вращения требуется так установить зубчатую передачу, чтобы отношение угловых скоростей вращения было по возможности более близким к числу ³⁵⁵/₁₁₃. Один из способов состоит в том, чтобы получить точное значение указанного отношения, поместив на одной оси шестеренку с 355 зубьями, а на другой - со 113 зубьями. Нельзя ли подобрать две шестеренки имеющие меньше 25 зубьев каждая, обеспечив при этом абсолютную погрешность, не превышающую 0,002?

5.1. а) Так как 36 = 2²*3² и 20 = 2²*5, то (36, 20) = 2² = 4.

б) Так как 1365 = 3*5*7*13 и 1225 = 5²*7², то (1365, 1225) = 5*7 = 35.

в) Так как 1189 = 29*41 и 589 = 19*31, то (1189, 589) = 1.

5.2. Докажем, что все общие делители пары чисел а и b являются общими делителями пары чисел b и r и, наоборот, все общие делители пары чисел b и r являются общими делителями пары чисел а и b. Тогда и наибольшие общие делители обеих пар будут совпадать.

Пусть d - какой-нибудь общий делитель чисел а и b. Так как a = qb + r, то число r = a - qb также делится на d (ибо оно есть разность чисел а и qb, кратных d). Поэтому число d является общим делителем чисел b и г. Аналогично, если числа b и r имеют общий делитель d, то тот же делитель будет иметь и число a = qb + r, т. е. число d будет общим делителем чисел а и b.

В случае r = 0 получаем, что наибольший общий делитель пары чисел а и b равен наибольшему делителю числа b (не равного нулю), т. е. самому числу b.

5.3. Заметим, что остаток от деления любого числа на число а обязательно меньше самого числа а. Поэтому последовательность ненулевых остатков удовлетворяет неравенствам

a₂>a₃>a₄>a₅>...>0 и не может быть бесконечной, так как она содержит не более a₂ чисел. Следовательно, описанный алгоритм не может продолжаться бесконечно. Если же число a_n разделится на а_n+1 нацело, то, согласно результату задачи 5.2, будут выполнены равенства

(a₁, a₂) = (a₂, a₃) = (a₃, a₄) = ... = (a_n , a_n+1) = a_n+1, т. е. наибольший общий делитель пары чисел a₁ и a₂ будет равен a_n+1.

5.4. а) Так как

36 = 1*20 + 16, 20 = 1*16 + 4, 16 = 4*4,

то (36, 20) = 4.

б) Так как

1365 = 1*1225 + 140, 1225 = 8*140 + 105, 140 = 1*105 + 35, 105 = 3*35,

то (1365, 1225) = 35.

в) Так как

1189 = 2*589 + 11, 589 = 53*11 + 6, 11 = 1*6 + 5, 6 = 1*5 + 1, 5 = 1*5,

то (1189, 589) = 1.

5.5. Найдем наибольший общий делитель пары чисел, стоящих в числителе и знаменателе дроби, и сократим дробь на этот делитель.

а) Воспользуемся алгоритмом Евклида:

2147 = 1*1577 + 570, 437 = 3*133 + 38,

1577 = 2*570 + 437, 133 = 3*38+19,

570 = 1*437 + 133, 38 = 2*19,

откуда (2147, 1577) = 19. Произведя деление числителя и знаменателя дроби на 19, находим

б) Заметим вначале, что числитель и знаменатель исходной дроби делятся на 6, поэтому ее можно сократить на 6 и получить дробь ²²¹/₂₀₂₃. Теперь применим алгоритм Евклида:

2023 = 9*221 + 34, 221 = 6*34 + 17, 34 = 2*17.

Таким образом, (2023, 221) = 17 и дробь можно сократить еще на 17:

5.6. Из прямоугольника размером 135*40 сначала вырезаны квадраты со стороной, равной меньшей стороне этого прямоугольника, т.е. 40. Количество таких квадратов равно частному от деления 135 на 40 с остатком:

135 = 3*40 + 15. Из оставшегося прямоугольника размером 40*15 вырезаны квадраты со стороной 15, которых, согласно делению 40 на 15 с остатком