В логике предикатов — в дополнение к средствам логики высказываний — вводятся логические операторы ("для всех") и ("для некоторых", или "существует"), называемые кванторами общности и существования соответственно. Для выявления субъектно-предикатной структуры высказываний вводится бесконечный перечень индивидных переменных: х, у, z…, х¹, у¹, z¹…., представляющих различные объекты, и бесконечный перечень предикатных переменных: Р, Q, R…, Р¹, Q^l, R¹…, представляющих свойства и отношения объектов. Индивидные переменные принимают значения в произвольной (непустой) области; наряду с этими переменными могут вводиться индивидные константы, или имена собственные.

Запись (x) Р(х) означает "Всякий х обладает свойством Р", (х) Р(х) — "Некоторые х обладают свойством Р", (x) Q(x, у) — "Существует х, находящийся в отношении Q с у" и т. п.

Формула логики предикатов называется общезначимой, если она истинна в каждой интерпретации, в каждом приписывании содержательного смысла входящим в нее символам. Тавтология логики высказываний является частным случаем общезначимой формулы. В логике предикатов, в отличие от логики высказываний, нет эффективной процедуры, позволяющей для произвольно взятой формулы решить, является ли она общезначимой или нет.

Глава 8. Модальная логика

1. Логические модальности

Модальность — это оценка высказывания, данная с той или иной точки зрения. Модальная оценка выражается с помощью понятий "необходимо", "возможно", "доказуемо", "опровержимо", "обязательно", "разрешено" и т. п. Модальные высказывания — это высказывания, содержащие хотя бы одно из таких понятий. Модальные высказывания делятся на типы в зависимости от той точки зрения, на основе которой формулируются выражаемые ими характеристики. Ранее, при обсуждении модальных высказываний, проводилось различие между логическими, физическими, эпистемическими, нормативными и оценочными модальными высказываниями.

Модальная логика — раздел логики, в котором исследуются логические связи модальных высказываний.

Модальная логика слагается из ряда разделов, или направлений, каждое из которых занимается модальными высказываниями определенного типа. Фундаментом модальной логики является логика высказываний: первая есть расширение второй.

Теория логических модальностей изучает связи логических модальных высказываний, т. е. высказываний, включающих логические модальные понятия: "логически необходимо", "логически возможно", "логически случайно" и т. п.

Логически необходимое высказывание можно определить как высказывание, отрицание которого представляет собой логическое противоречие. Внутренне противоречивы, например, высказывания "Неверно, что, если неон — инертный газ, то неон — инертный газ" и "Неверно, что трава зеленая или она не зеленая". Это означает, что утвердительные высказывания "Если неон — инертный газ, то неон — инертный газ" и "Трава зеленая или она не зеленая" являются логически необходимыми. Понятие логической необходимости связано с понятием логического закона: логически необходимы законы логики и все, что вытекает из них. Логически необходимы, таким образом, все рассматривавшиеся ранее законы логики высказываний.

Истинность логически необходимого высказывания устанавливается независимо от опыта, на чисто логических основаниях. Логическая необходимость является, таким образом, более сильным видом истины, чем фактическая истинность. Например, высказывание "Снег бел" фактически истинно, для подтверждения его истинности требуется эмпирическое наблюдение. Высказывания же "Снег есть снег", "Белое — это белое" и т. п. необходимо истинны: для установления их истинности не нужно обращаться к опыту, достаточно знать значения входящих в них слов. Поскольку данные высказывания логически необходимы, каждое из них можно предварить оборотом "логически необходимо, что…" ("Логически необходимо, что снег есть снег" и т. п.).

Логическая возможность — это внутренняя непротиворечивость высказывания.

Высказывание "Коэффициент полезного действия паровой машины равен 100 % является, очевидно, ложным, но оно внутренне непротиворечиво и, значит, логически возможно. Но высказывание "К.п.д. такой машины выше 100 %" противоречиво и потому логически невозможно.