Читаем Feynmann 6 полностью

Например, когда отношение радиусов равно 2:1, я полу­чаю 1,444. Это очень хорошее приближение к правильному ответу, 1,4423. Даже при больших b/а приближение остается довольно хорошим — оно намного лучше первого приближения. Оно остается сносным (завышение только на 10%) даже при b/а=10:1. Большое расхождение наступает только при от­ношении 100:1. Я получаю С равным 0,346 вместо 0,267. С другой стороны, для отношения радиусов 1,5 совпадение превосходное, а при b/a=1,1 ответ получается 10,492065 вместо положенного 10,492070. Там, где следует ожидать хорошего ответа, он оказывается очень и очень хорошим.

Я привел все эти примеры, во-первых, чтобы продемонстри­ровать теоретическую ценность принципа минимального дей­ствия и вообще всяких принципов минимума, и, во-вторых, чтобы показать вам их практическую полезность, а вовсе не для того, чтобы подсчитать емкость, которую мы и так велико­лепно знаем. Для любой другой формы вы можете испробовать приближенное поле с несколькими неизвестными параметрами (наподобие а) и подогнать их под минимум. Вы получите пре­восходные численные результаты в задачах, которые другим способом не решаются.

Добавление, сделанное после лекции

Мне не хватило времени на лекции, чтобы сказать еще об одной вещи (всегда ведь готовишься рассказать больше, чем успеваешь). И я хочу сделать это сейчас. Я уже упоминал о том, что, готовясь к этой лекции, заинтересовался одной задачей. Мне хочется вам рассказать, что это за задача. Я заметил, что большая часть принципов минимума, о которых шла речь, в той или иной форме вытекает из принципа наименьшего действия механики и электродинамики. Но существует еще класс прин­ципов, оттуда не вытекающих. Вот пример. Если сделать так, чтобы токи протекали через массу вещества, удовлетворяющего закону Ома, то токи распределятся в этой массе так, чтобы скорость, с какой генерируется в ней тепло, была наименьшей. Можно также сказать иначе (если температура поддерживается постоянной): что скорость выделения энергии минимальна. Этот принцип, согласно классической теории, выполняется даже в распределении скоростей электронов внутри металла, по которому течет ток. Распределение скоростей не совсем рав­новесно [см. гл. 40 (вып. 4), уравнение (40.6)], потому что они медленно дрейфуют в стороны. Новое распределение можно найти из того принципа, что оно при данном токе должно быть таково, что развивающаяся в секунду за счет столкновений энтропия уменьшится настолько, насколько это возможно. Впрочем, правильное описание поведения электронов должно быть квантовомеханическим. Так вот в чем состоит вопрос: должен ли этот самый принцип минимума развивающейся энтро­пии соблюдаться и тогда, когда положение вещей описывается квантовой механикой? Пока мне не удалось это выяснить.

Вопрос этот интересен, конечно, и сам по себе. По­добные принципы возбуждают воображение, и всегда стоит попробовать выяснить, насколько они общи. Но мне необхо­димо это знать и по более практической причине. Вместе с несколькими коллегами я опубликовал работу, в которой с по­мощью квантовой механики мы примерно рассчитали электри­ческое сопротивление, испытываемое электроном, пробираю­щимся сквозь ионный кристалл, подобный NaCl. [Статья об этом была напечатана в Physical Review, 127, 1004 (1962) и называется «Подвижность медленных электронов в полярных кристаллах».] Но если бы существовал принцип минимума, мы могли бы воспользоваться им, чтобы сделать результат на­много более точным, аналогично тому как принцип минимума емкости конденсатора позволил нам добиться столь высокой точности для емкости, хотя об электрическом поле наши сведе­ния были весьма неточными.

* Эта лекция никак не связана со всем остальным. Она прочитана лишь для того, чтобы отвлечься от основной темы и немного передохнуть. (Перевод над­писей, сделанных на доске, приведен около рисунков, над стрелками.— Прим. ред.)

Глава 20

РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ МАКСВЕЛЛА В ПУСТОМ ПРОСТРАНСТВЕ

§ 1. Волны в пустом пространстве; плоские волны

§ 2. Трехмерные волны

§ 3. Научное воображение

§ 4. Сферические волны

Повторить: гл. 47 (вып. 4) «Звук, Волновое уравнение»; гл. 28 (вып. 3) «Электромагнит­ное излучение»

§ 1. Волны в пустом пространстве; плоские волны

В гл. 18 мы достигли того, что уравнения Максвелла появились в полном виде. Все, что есть в классической теории электрических и магнитных полей, вытекает из четырех уравне­ний: