Читаем Этюды для программистов полностью

Инструментовка. Эта задача прямо-таки создана для языка типа Снобол, в котором средства работы с текстовыми данными сочетаются с простыми арифметическими операциями. Хорошим кандидатом может быть и какой-нибудь другой язык, с более широким диапазоном алгебраических вычислений и с достаточными средствами обработки текстовых данных, например PL/I, Паскаль или XPL. Но какой бы язык вы ни выбрали, постарайтесь избежать представления литер целыми числами; требования машинного представления не должны навязывать некрасивое, путаное решение задачи.

Длительность исполнения. Одному исполнителю на 2 недели.

* Партия переводчика. При переводе на русский язык зашифрованного примера надо было сначала расшифровать его. Попытка сделать это с помощью описанной процедуры не привела к успеху. После небольшого размышления стало ясно, что наш ключ не подходит потому, что он от другого замка! Действительно, предлагаемый автором способ определения относительных сдвигов столбцов с помощью величин R_i,j,r исходит из того, что два столбца отличаются, кроме случайных отклонений, циклическим сдвигом на величину, равную разности номеров двух букв ключевого слова. Это свойство будет иметь место, если несколько изменить способ шифрования. В нашем случае вместо R_i,j,r следует использовать числа p_{i, j, r}, вычисляемые, как описано ниже.

Пусть число букв алфавита равно n. Будем обозначать i-ю букву алфавита x_i или y_i в зависимости от того, идет речь об исходном тексте или о зашифрованном. Нам известны средняя частота p_i = = p(x_i) появления i-й буквы в русском языке, число f_{k, i} появлений i-й буквы в k-й группе зашифрованного текста, общее число N_k букв в k-й группе. Определим вероятности p_k(y_j|x_i) появления фактического числа букв f_{k, j}, если буква y_j в k-й группе обозначает букву x_i исходного текста. Эти вероятности подчиняются биномиальному распределению.

Далее найдем по формуле Байеса вероятности p_k(x_i|y_j) того, что буква у_j в k-й группе означает букву x_i исходного текста. Априорные вероятности гипотез примем равными 1/n.

Рассмотрим теперь пару групп (столбцов табл. 24.1) k и l. Будем говорить, что между ними имеется сдвиг r, если каждой букве y_j зашифрованного текста в 1-й группе соответствует буква исходного текста на r большая (по модулю n), чем в k-й группе. Это означает, что в ключевом слове 1-я буква на r меньше k-й. Для оценки вероятностей p_{k, l, r} того, что между k-й и l-й группами имеется сдвиг r, вычислим величины

Символы ⊕, ⊖ означают сложение и вычитание по модулю n. Величина рк, i г есть вероятность фактического распределения числа появлений букв при условии, что имеет место сдвиг r. Здесь не учитывается, что разные y_j соответствуют разным Значения p_{k, l, r} получаются по формуле Байеса

Фактический сдвиг r(k, l) между k-й и l-й группами должен иметь довольно большую вероятность p_{k, l, r}. Но насколько большую? В следующей таблице приведены данные о расшифровке оригинала примера.

В клетке с координатами k, l указано, какое место в порядке убывания p_{k, l, r} для фиксированных k и l занимает фактический сдвиг r(k, l). Видно, что за двумя исключениями номер места не превышает шести. Таким образом, величины сдвигов r(k, l) следует искать среди тех, которые дают 6–7 наибольших значений p_{k, l, r} для данных k и l. Для выбора из них фактических величин сдвига следует воспользоваться согласованностью сдвигов r(k, l) ⊕ r(l, n) = r(k, m). Складывая всех кандидатов для r(1, 2) с r(2, 3) и проверяя, находится ли результат среди кандидатов для r(1, 3), можно отбросить большую часть вариантов. Затем следует аналогично определить r(1, 4), учитывая r(2, 4) и r(3, 4), и т. д. Этот перебор легко провести вручную, если число кандидатов для каждого r(k, l) не более 8. Поскольку возможны исключительные случаи (r(3, 5) и r(4, 5) в приведенной выше таблице), то в результате этого процесса сдвиг для какой-либо группы может оказаться определенным неправильно либо процесс может вообще не сойтись (будут отброшены все варианты). В таком случае следует заново определить величину сдвига для наихудшей группы (определяемой, например, по наибольшему среднему месту для сдвигов относительно этой группы), учитывая большее число кандидатов.

После определения сдвигов следует найти ключевое слово, как описано в основном тексте, рассматривая все слова вида x_a, x_{a ⊖ r(1, 2)}, x_{a ⊖ r(1, 3)}, … (а = 1, …, n). Возможно, для получения осмысленного слова придется изменить одну из букв. Определив ключевое слово, находим окончательные величины сдвигов.

Теперь для определения перестановки вычислим вероятности p(x_i|y_j) того, что буква y_j в зашифрованном тексте соответствует букве x_i в первой группе, x_{i ⊕ r(1, 2)} — во второй и т. д.:

(r(1, 1) полагаем равным нулю, d — число групп)